Définition :
La fonction exponentielle népérienne notée est bijection réciproque de la fonction logarithme népérien.
Propriétés
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Pour tout x élément de
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Pour tout x élément de
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Pour tout x élément de
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La fonction est une bijection de sur Elle est strictement croissante sur
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Pour tout r élément de
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Pour tout nombres réels a et b, on a :
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si, et seulement si a = b ;
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si, et seulement si a < b
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Pour tous nombres réels a et b et pour tout nombre rationnel r, on a :
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Activité 33 : Démontrer des propriétés ; Représenter graphiquement la fonction
1-) Démontre que est dérivable puis détermine sa dérivée.
2-) Soit une fonction dérivable sur un intervalle La fonction est dérivable sur K puis détermine sa dérivée.
3-) Représente graphiquement la fonction
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Propriété
La fonction est dérivable sur et elle est égale à sa dérivée.
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Si u est une fonction dérivable sur un intervalle K, alors la fonction expu est dérivable sur K et l’on a :
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Si u est une fonction dérivable sur un intervalle K, alors la fonction exp u est une primitive sur K de la fonction u’ × expu ;
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Quelques limites remarquables
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Activité 34 : Réinvestissement
1-) On considère la fonction définie à l’activité 30 et on note sa bijection réciproque. Détermine pour tout élément de
2-) Dans chacun des cas suivants, détermine la fonction dérivé de
a-) b-) c-)
3-) on considère la fonction définie par
a-) Étudie la dérivabilité de en puis interprète géométriquement les résultats.
b-) Étudie les variations de
- Enseignant: B. Prosper DANSOU